Ratkaise 49t^2-5t+1225=0

$$49 t ^ { 2 } - 5 t + 1225 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{5+15\sqrt{1067}i}{98}\approx 0,051020408+4,999739685i$$

$$t=\frac{-15\sqrt{1067}i+5}{98}\approx 0,051020408-4,999739685i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$49t^{2}-5t+1225=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 49, b luvulla -5 ja c luvulla 1225 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 49\times 1225}}{2\times 49}$$

Korota -5 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 49\times 1225}}{2\times 49}$$

Kerro -4 ja 49.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-196\times 1225}}{2\times 49}$$

Kerro -196 ja 1225.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-240100}}{2\times 49}$$

Lisää 25 lukuun -240100.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-240075}}{2\times 49}$$

Ota luvun -240075 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±15\sqrt{1067}i}{2\times 49}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$t=\frac{5±15\sqrt{1067}i}{2\times 49}$$

Kerro 2 ja 49.

$$t=\frac{5±15\sqrt{1067}i}{98}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{5±15\sqrt{1067}i}{98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 15i\sqrt{1067}.

$$t=\frac{5+15\sqrt{1067}i}{98}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{5±15\sqrt{1067}i}{98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 15i\sqrt{1067} luvusta 5.

$$t=\frac{-15\sqrt{1067}i+5}{98}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{5+15\sqrt{1067}i}{98} t=\frac{-15\sqrt{1067}i+5}{98}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-5t+1225=0$$

Vähennä 1225 yhtälön molemmilta puolilta.

$$49t^{2}-5t+1225-1225=-1225$$

Kun luku 1225 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$49t^{2}-5t=-1225$$

Jaa molemmat puolet luvulla 49.

$$\frac{49t^{2}-5t}{49}=-\frac{1225}{49}$$

Jakaminen luvulla 49 kumoaa kertomisen luvulla 49.

$$t^{2}-\frac{5}{49}t=-\frac{1225}{49}$$

Jaa -1225 luvulla 49.

$$t^{2}-\frac{5}{49}t=-25$$

Jaa -\frac{5}{49} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{98}. Lisää sitten -\frac{5}{98}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{5}{49}t+\left(-\frac{5}{98}\right)^{2}=-25+\left(-\frac{5}{98}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{98} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{5}{49}t+\frac{25}{9604}=-25+\frac{25}{9604}$$

Lisää -25 lukuun \frac{25}{9604}.

$$t^{2}-\frac{5}{49}t+\frac{25}{9604}=-\frac{240075}{9604}$$

Jaa t^{2}-\frac{5}{49}t+\frac{25}{9604} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{5}{98}\right)^{2}=-\frac{240075}{9604}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{5}{98}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{240075}{9604}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{5}{98}=\frac{15\sqrt{1067}i}{98} t-\frac{5}{98}=-\frac{15\sqrt{1067}i}{98}$$

Lisää \frac{5}{98} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{5+15\sqrt{1067}i}{98} t=\frac{-15\sqrt{1067}i+5}{98}$$