Ratkaise 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=-1$$

$$t=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon t^{2}+at+bt-4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -4.

$$1,-4 2,-2$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -3.

$$a=-4 b=1$$

Kirjoita \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right) uudelleen muodossa t^{2}-3t-4.

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Ota t tekijäksi lausekkeessa t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Jaa yleinen termi t-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista t-4=0 ja t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 49, b luvulla -147 ja c luvulla -196 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Korota -147 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Kerro -4 ja 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Kerro -196 ja -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Lisää 21609 lukuun 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Ota luvun 60025 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

Luvun -147 vastaluku on 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Kerro 2 ja 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{147±245}{98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 147 lukuun 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Jaa 392 luvulla 98.

$$t=4$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{147±245}{98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 245 luvusta 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Jaa -98 luvulla 98.

$$t=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=4 t=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Lisää 196 yhtälön kummallekin puolelle.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Kun luku -196 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Vähennä -196 luvusta 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Jaa molemmat puolet luvulla 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

Jakaminen luvulla 49 kumoaa kertomisen luvulla 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Jaa -147 luvulla 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Jaa 196 luvulla 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Lisää 4 lukuun \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Jaa t^{2}-3t+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=4 t=-1$$