Ratkaise 49x^2+2x-15=0

$$49 { x }^{ 2 } +2x-15=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}\approx 0,533251427$$

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}\approx -0,574067754$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 49, b luvulla 2 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Kerro -4 ja 49.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-196\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Kerro -196 ja -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+2940}}{2\times 49}$$

Lisää 4 lukuun 2940.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2944}}{2\times 49}$$

Ota luvun 2944 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{2\times 49}$$

Kerro 2 ja 49.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 8\sqrt{46}.

$$x=\frac{8\sqrt{46}-2}{98}$$

Jaa -2+8\sqrt{46} luvulla 98.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{46} luvusta -2.

$$x=\frac{-8\sqrt{46}-2}{98}$$

Jaa -2-8\sqrt{46} luvulla 98.

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$49x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Kun luku -15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$49x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

Vähennä -15 luvusta 0.

$$49x^{2}+2x=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 49.

$$\frac{49x^{2}+2x}{49}=\frac{15}{49}$$

Jakaminen luvulla 49 kumoaa kertomisen luvulla 49.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x=\frac{15}{49}$$

Jaa \frac{2}{49} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{49}. Lisää sitten \frac{1}{49}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{15}{49}+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{49} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{15}{49}+\frac{1}{2401}$$

Lisää \frac{15}{49} lukuun \frac{1}{2401} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{736}{2401}$$

Jaa x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{736}{2401}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{736}{2401}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{49}=\frac{4\sqrt{46}}{49} x+\frac{1}{49}=-\frac{4\sqrt{46}}{49}$$

Vähennä \frac{1}{49} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$