Ratkaise 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 42x^{2}+ax+bx-3. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-14 b=9$$

Kirjoita \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right) uudelleen muodossa 42x^{2}-5x-3.

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Jaa 14x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-1=0 ja 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 42, b luvulla -5 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kerro -4 ja 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kerro -168 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Lisää 25 lukuun 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Ota luvun 529 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Kerro 2 ja 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±23}{84}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Supista murtoluku \frac{28}{84} luvulla 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±23}{84}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 23 luvusta 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{84} luvulla 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Jakaminen luvulla 42 kumoaa kertomisen luvulla 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Supista murtoluku \frac{3}{42} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Jaa -\frac{5}{42} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{84}. Lisää sitten -\frac{5}{84}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{84} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Lisää \frac{1}{14} lukuun \frac{25}{7056} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Lisää \frac{5}{84} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$