Ratkaise 42t^2-91t+42=0

$$42 t ^ { 2 } - 91 t + 42 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$42t^{2}-91t+42=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 42, b luvulla -91 ja c luvulla 42 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{\left(-91\right)^{2}-4\times 42\times 42}}{2\times 42}$$

Korota -91 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-4\times 42\times 42}}{2\times 42}$$

Kerro -4 ja 42.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-168\times 42}}{2\times 42}$$

Kerro -168 ja 42.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-7056}}{2\times 42}$$

Lisää 8281 lukuun -7056.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{1225}}{2\times 42}$$

Ota luvun 1225 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±35}{2\times 42}$$

Luvun -91 vastaluku on 91.

$$t=\frac{91±35}{2\times 42}$$

Kerro 2 ja 42.

$$t=\frac{91±35}{84}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{91±35}{84}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 91 lukuun 35.

$$t=\frac{126}{84}$$

Supista murtoluku \frac{126}{84} luvulla 42.

$$t=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{91±35}{84}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 35 luvusta 91.

$$t=\frac{56}{84}$$

Supista murtoluku \frac{56}{84} luvulla 28.

$$t=\frac{2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{3}{2} t=\frac{2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$42t^{2}-91t+42=0$$

Vähennä 42 yhtälön molemmilta puolilta.

$$42t^{2}-91t+42-42=-42$$

Kun luku 42 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$42t^{2}-91t=-42$$

Jaa molemmat puolet luvulla 42.

$$\frac{42t^{2}-91t}{42}=-\frac{42}{42}$$

Jakaminen luvulla 42 kumoaa kertomisen luvulla 42.

$$t^{2}+\left(-\frac{91}{42}\right)t=-\frac{42}{42}$$

Supista murtoluku \frac{-91}{42} luvulla 7.

$$t^{2}-\frac{13}{6}t=-\frac{42}{42}$$

Jaa -42 luvulla 42.

$$t^{2}-\frac{13}{6}t=-1$$

Jaa -\frac{13}{6} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{12}. Lisää sitten -\frac{13}{12}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{13}{6}t+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{12} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{13}{6}t+\frac{169}{144}=-1+\frac{169}{144}$$

Lisää -1 lukuun \frac{169}{144}.

$$t^{2}-\frac{13}{6}t+\frac{169}{144}=\frac{25}{144}$$

Jaa t^{2}-\frac{13}{6}t+\frac{169}{144} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{144}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{13}{12}=\frac{5}{12} t-\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}$$

Lisää \frac{13}{12} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{3}{2} t=\frac{2}{3}$$