Ratkaise 418392+2*78*98x=65*10^4quadx^2

$$418392 + 2 \times 78 \times 98 x = 65 \times 10 ^ { 4 } \quad x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{3\sqrt{11177401}+147}{12500}\approx 0,814142887$$

$$x=\frac{147-3\sqrt{11177401}}{12500}\approx -0,790622887$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 2 ja 78, niin saadaan 156.

$$418392+156\times 98x=65\times 10^{4}x^{2}$$

Kerro 156 ja 98, niin saadaan 15288.

$$418392+15288x=65\times 10^{4}x^{2}$$

Laske 10 potenssiin 4, jolloin ratkaisuksi tulee 10000.

$$418392+15288x=65\times 10000x^{2}$$

Kerro 65 ja 10000, niin saadaan 650000.

$$418392+15288x=650000x^{2}$$

Vähennä 650000x^{2} molemmilta puolilta.

$$418392+15288x-650000x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-650000x^{2}+15288x+418392=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -650000, b luvulla 15288 ja c luvulla 418392 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15288±\sqrt{15288^{2}-4\left(-650000\right)\times 418392}}{2\left(-650000\right)}$$

Korota 15288 neliöön.

$$x=\frac{-15288±\sqrt{233722944-4\left(-650000\right)\times 418392}}{2\left(-650000\right)}$$

Kerro -4 ja -650000.

$$x=\frac{-15288±\sqrt{233722944+2600000\times 418392}}{2\left(-650000\right)}$$

Kerro 2600000 ja 418392.

$$x=\frac{-15288±\sqrt{233722944+1087819200000}}{2\left(-650000\right)}$$

Lisää 233722944 lukuun 1087819200000.

$$x=\frac{-15288±\sqrt{1088052922944}}{2\left(-650000\right)}$$

Ota luvun 1088052922944 neliöjuuri.

$$x=\frac{-15288±312\sqrt{11177401}}{2\left(-650000\right)}$$

Kerro 2 ja -650000.

$$x=\frac{-15288±312\sqrt{11177401}}{-1300000}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-15288±312\sqrt{11177401}}{-1300000}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -15288 lukuun 312\sqrt{11177401}.

$$x=\frac{312\sqrt{11177401}-15288}{-1300000}$$

Jaa -15288+312\sqrt{11177401} luvulla -1300000.

$$x=\frac{147-3\sqrt{11177401}}{12500}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-15288±312\sqrt{11177401}}{-1300000}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 312\sqrt{11177401} luvusta -15288.

$$x=\frac{-312\sqrt{11177401}-15288}{-1300000}$$

Jaa -15288-312\sqrt{11177401} luvulla -1300000.

$$x=\frac{3\sqrt{11177401}+147}{12500}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{147-3\sqrt{11177401}}{12500} x=\frac{3\sqrt{11177401}+147}{12500}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro 2 ja 78, niin saadaan 156.

$$418392+156\times 98x=65\times 10^{4}x^{2}$$

Kerro 156 ja 98, niin saadaan 15288.

$$418392+15288x=65\times 10^{4}x^{2}$$

Laske 10 potenssiin 4, jolloin ratkaisuksi tulee 10000.

$$418392+15288x=65\times 10000x^{2}$$

Kerro 65 ja 10000, niin saadaan 650000.

$$418392+15288x=650000x^{2}$$

Vähennä 650000x^{2} molemmilta puolilta.

$$418392+15288x-650000x^{2}=0$$

Vähennä 418392 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$15288x-650000x^{2}=-418392$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-650000x^{2}+15288x=-418392$$

Jaa molemmat puolet luvulla -650000.

$$\frac{-650000x^{2}+15288x}{-650000}=-\frac{418392}{-650000}$$

Jakaminen luvulla -650000 kumoaa kertomisen luvulla -650000.

$$x^{2}+\frac{15288}{-650000}x=-\frac{418392}{-650000}$$

Supista murtoluku \frac{15288}{-650000} luvulla 104.

$$x^{2}-\frac{147}{6250}x=-\frac{418392}{-650000}$$

Supista murtoluku \frac{-418392}{-650000} luvulla 104.

$$x^{2}-\frac{147}{6250}x=\frac{4023}{6250}$$

Jaa -\frac{147}{6250} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{147}{12500}. Lisää sitten -\frac{147}{12500}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{147}{6250}x+\left(-\frac{147}{12500}\right)^{2}=\frac{4023}{6250}+\left(-\frac{147}{12500}\right)^{2}$$

Korota -\frac{147}{12500} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{147}{6250}x+\frac{21609}{156250000}=\frac{4023}{6250}+\frac{21609}{156250000}$$

Lisää \frac{4023}{6250} lukuun \frac{21609}{156250000} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{147}{6250}x+\frac{21609}{156250000}=\frac{100596609}{156250000}$$

Jaa x^{2}-\frac{147}{6250}x+\frac{21609}{156250000} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{147}{12500}\right)^{2}=\frac{100596609}{156250000}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{147}{12500}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100596609}{156250000}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{147}{12500}=\frac{3\sqrt{11177401}}{12500} x-\frac{147}{12500}=-\frac{3\sqrt{11177401}}{12500}$$

Lisää \frac{147}{12500} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{11177401}+147}{12500} x=\frac{147-3\sqrt{11177401}}{12500}$$