Ratkaise 4078379=4040a-a^2

$$4078379 = 4040 a - a ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=\sqrt{2021}+2020\approx 2064,955533586$$

$$a=2020-\sqrt{2021}\approx 1975,044466414$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$4040a-a^{2}=4078379$$

Vähennä 4078379 molemmilta puolilta.

$$4040a-a^{2}-4078379=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-a^{2}+4040a-4078379=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 4040 ja c luvulla -4078379 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-4040±\sqrt{4040^{2}-4\left(-1\right)\left(-4078379\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 4040 neliöön.

$$a=\frac{-4040±\sqrt{16321600-4\left(-1\right)\left(-4078379\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$a=\frac{-4040±\sqrt{16321600+4\left(-4078379\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -4078379.

$$a=\frac{-4040±\sqrt{16321600-16313516}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 16321600 lukuun -16313516.

$$a=\frac{-4040±\sqrt{8084}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 8084 neliöjuuri.

$$a=\frac{-4040±2\sqrt{2021}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$a=\frac{-4040±2\sqrt{2021}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-4040±2\sqrt{2021}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4040 lukuun 2\sqrt{2021}.

$$a=\frac{2\sqrt{2021}-4040}{-2}$$

Jaa -4040+2\sqrt{2021} luvulla -2.

$$a=2020-\sqrt{2021}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-4040±2\sqrt{2021}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{2021} luvusta -4040.

$$a=\frac{-2\sqrt{2021}-4040}{-2}$$

Jaa -4040-2\sqrt{2021} luvulla -2.

$$a=\sqrt{2021}+2020$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=2020-\sqrt{2021} a=\sqrt{2021}+2020$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$4040a-a^{2}=4078379$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-a^{2}+4040a=4078379$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-a^{2}+4040a}{-1}=\frac{4078379}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$a^{2}+\frac{4040}{-1}a=\frac{4078379}{-1}$$

Jaa 4040 luvulla -1.

$$a^{2}-4040a=\frac{4078379}{-1}$$

Jaa 4078379 luvulla -1.

$$a^{2}-4040a=-4078379$$

Jaa -4040 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2020. Lisää sitten -2020:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}-4040a+\left(-2020\right)^{2}=-4078379+\left(-2020\right)^{2}$$

Korota -2020 neliöön.

$$a^{2}-4040a+4080400=-4078379+4080400$$

Lisää -4078379 lukuun 4080400.

$$a^{2}-4040a+4080400=2021$$

Jaa a^{2}-4040a+4080400 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-2020\right)^{2}=2021$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a-2020\right)^{2}}=\sqrt{2021}$$

Sievennä.

$$a-2020=\sqrt{2021} a-2020=-\sqrt{2021}$$

Lisää 2020 yhtälön kummallekin puolelle.

$$a=\sqrt{2021}+2020 a=2020-\sqrt{2021}$$