Ratkaise 40w^2-83w+42=0

$$40 w ^ { 2 } - 83 w + 42 = 0$$

Ratkaise muuttujan w suhteen

$$w = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

$$w=\frac{7}{8}=0,875$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$40w^{2}-83w+42=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 40, b luvulla -83 ja c luvulla 42 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±\sqrt{\left(-83\right)^{2}-4\times 40\times 42}}{2\times 40}$$

Korota -83 neliöön.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±\sqrt{6889-4\times 40\times 42}}{2\times 40}$$

Kerro -4 ja 40.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±\sqrt{6889-160\times 42}}{2\times 40}$$

Kerro -160 ja 42.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±\sqrt{6889-6720}}{2\times 40}$$

Lisää 6889 lukuun -6720.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±\sqrt{169}}{2\times 40}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$w=\frac{-\left(-83\right)±13}{2\times 40}$$

Luvun -83 vastaluku on 83.

$$w=\frac{83±13}{2\times 40}$$

Kerro 2 ja 40.

$$w=\frac{83±13}{80}$$

Ratkaise nyt yhtälö w=\frac{83±13}{80}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 83 lukuun 13.

$$w=\frac{96}{80}$$

Supista murtoluku \frac{96}{80} luvulla 16.

$$w=\frac{6}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö w=\frac{83±13}{80}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta 83.

$$w=\frac{70}{80}$$

Supista murtoluku \frac{70}{80} luvulla 10.

$$w=\frac{7}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$w=\frac{6}{5} w=\frac{7}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$40w^{2}-83w+42=0$$

Vähennä 42 yhtälön molemmilta puolilta.

$$40w^{2}-83w+42-42=-42$$

Kun luku 42 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$40w^{2}-83w=-42$$

Jaa molemmat puolet luvulla 40.

$$\frac{40w^{2}-83w}{40}=-\frac{42}{40}$$

Jakaminen luvulla 40 kumoaa kertomisen luvulla 40.

$$w^{2}-\frac{83}{40}w=-\frac{42}{40}$$

Supista murtoluku \frac{-42}{40} luvulla 2.

$$w^{2}-\frac{83}{40}w=-\frac{21}{20}$$

Jaa -\frac{83}{40} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{83}{80}. Lisää sitten -\frac{83}{80}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$w^{2}-\frac{83}{40}w+\left(-\frac{83}{80}\right)^{2}=-\frac{21}{20}+\left(-\frac{83}{80}\right)^{2}$$

Korota -\frac{83}{80} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$w^{2}-\frac{83}{40}w+\frac{6889}{6400}=-\frac{21}{20}+\frac{6889}{6400}$$

Lisää -\frac{21}{20} lukuun \frac{6889}{6400} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$w^{2}-\frac{83}{40}w+\frac{6889}{6400}=\frac{169}{6400}$$

Jaa w^{2}-\frac{83}{40}w+\frac{6889}{6400} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-\frac{83}{80}\right)^{2}=\frac{169}{6400}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(w-\frac{83}{80}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{6400}}$$

Sievennä.

$$w-\frac{83}{80}=\frac{13}{80} w-\frac{83}{80}=-\frac{13}{80}$$

Lisää \frac{83}{80} yhtälön kummallekin puolelle.

$$w=\frac{6}{5} w=\frac{7}{8}$$