Ratkaise 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 40x^{2}+ax+bx+1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -14.

$$a=-10 b=-4$$

Kirjoita \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right) uudelleen muodossa 40x^{2}-14x+1.

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Jaa 10x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 4x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 4x-1=0 ja 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 40, b luvulla -14 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Kerro -4 ja 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Lisää 196 lukuun -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Ota luvun 36 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Kerro 2 ja 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±6}{80}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Supista murtoluku \frac{20}{80} luvulla 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±6}{80}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6 luvusta 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Supista murtoluku \frac{8}{80} luvulla 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Jakaminen luvulla 40 kumoaa kertomisen luvulla 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Supista murtoluku \frac{-14}{40} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Jaa -\frac{7}{20} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{40}. Lisää sitten -\frac{7}{40}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{40} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Lisää -\frac{1}{40} lukuun \frac{49}{1600} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Lisää \frac{7}{40} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$