Ratkaise 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8,507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23,507810594$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4z^{2}+60z=800$$

Vähennä 800 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

Kun luku 800 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 60 ja c luvulla -800 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Korota 60 neliöön.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

Lisää 3600 lukuun 12800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

Ota luvun 16400 neliöjuuri.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -60 lukuun 20\sqrt{41}.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

Jaa -60+20\sqrt{41} luvulla 8.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20\sqrt{41} luvusta -60.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

Jaa -60-20\sqrt{41} luvulla 8.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+60z=800$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

Jaa 60 luvulla 4.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

Jaa 800 luvulla 4.

$$z^{2}+15z=200$$

Jaa 15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{15}{2}. Lisää sitten \frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

Lisää 200 lukuun \frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

Jaa z^{2}+15z+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

Sievennä.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

Vähennä \frac{15}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$