Ratkaise 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4y^{2}+ay+by+2. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -9.

$$a=-8 b=-1$$

Kirjoita \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right) uudelleen muodossa 4y^{2}-9y+2.

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Ota 4y tekijäksi ensimmäisessä ja -1 toisessa ryhmässä.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi y-2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt y-2=0 ja 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -9 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Korota -9 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Lisää 81 lukuun -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{9±7}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Jaa 16 luvulla 8.

$$y=2$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{9±7}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Supista murtoluku \frac{2}{8} luvulla 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{4} luvulla 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{9}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{8}. Lisää sitten -\frac{9}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun \frac{81}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Jaa y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Lisää \frac{9}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$