Ratkaise 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1,593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0,156929669$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -7 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Korota -7 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Lisää 49 lukuun -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{33} luvusta 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Jaa -\frac{7}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{8}. Lisää sitten -\frac{7}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Lisää -\frac{1}{4} lukuun \frac{49}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Jaa y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Lisää \frac{7}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$