Ratkaise 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15,717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1,717797887$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4y^{2}-56y=108$$

Vähennä 108 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

Kun luku 108 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -56 ja c luvulla -108 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Korota -56 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Lisää 3136 lukuun 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Ota luvun 4864 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Luvun -56 vastaluku on 56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 56 lukuun 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Jaa 56+16\sqrt{19} luvulla 8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16\sqrt{19} luvusta 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Jaa 56-16\sqrt{19} luvulla 8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-56y=108$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Jaa -56 luvulla 4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Jaa 108 luvulla 4.

$$y^{2}-14y=27$$

Jaa -14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -7. Lisää sitten -7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Korota -7 neliöön.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Lisää 27 lukuun 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Jaa y^{2}-14y+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Sievennä.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$