Ratkaise 4y^2-13y+36=0

$$4 y ^ { 2 } - 13 y + 36 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{13+\sqrt{407}i}{8}\approx 1,625+2,521780125i$$

$$y=\frac{-\sqrt{407}i+13}{8}\approx 1,625-2,521780125i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4y^{2}-13y+36=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -13 ja c luvulla 36 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 4\times 36}}{2\times 4}$$

Korota -13 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 4\times 36}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-16\times 36}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 36.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-576}}{2\times 4}$$

Lisää 169 lukuun -576.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{-407}}{2\times 4}$$

Ota luvun -407 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{407}i}{2\times 4}$$

Luvun -13 vastaluku on 13.

$$y=\frac{13±\sqrt{407}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$y=\frac{13±\sqrt{407}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{13±\sqrt{407}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 13 lukuun i\sqrt{407}.

$$y=\frac{13+\sqrt{407}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{13±\sqrt{407}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{407} luvusta 13.

$$y=\frac{-\sqrt{407}i+13}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{13+\sqrt{407}i}{8} y=\frac{-\sqrt{407}i+13}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-13y+36=0$$

Vähennä 36 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4y^{2}-13y+36-36=-36$$

Kun luku 36 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4y^{2}-13y=-36$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4y^{2}-13y}{4}=-\frac{36}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$y^{2}-\frac{13}{4}y=-\frac{36}{4}$$

Jaa -36 luvulla 4.

$$y^{2}-\frac{13}{4}y=-9$$

Jaa -\frac{13}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{8}. Lisää sitten -\frac{13}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{13}{4}y+\left(-\frac{13}{8}\right)^{2}=-9+\left(-\frac{13}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{13}{4}y+\frac{169}{64}=-9+\frac{169}{64}$$

Lisää -9 lukuun \frac{169}{64}.

$$y^{2}-\frac{13}{4}y+\frac{169}{64}=-\frac{407}{64}$$

Jaa y^{2}-\frac{13}{4}y+\frac{169}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{407}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{407}{64}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{13}{8}=\frac{\sqrt{407}i}{8} y-\frac{13}{8}=-\frac{\sqrt{407}i}{8}$$

Lisää \frac{13}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{13+\sqrt{407}i}{8} y=\frac{-\sqrt{407}i+13}{8}$$