Ratkaise 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=2$$

$$y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$4x-y=5$$

Lisää y yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x=y+5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Kerro \frac{1}{4} ja y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Korvaa x arvolla \frac{5+y}{4} toisessa yhtälössä, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Kerro -4 ja \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Lisää -y lukuun 5y.

$$4y-5=7$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4y=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$y=3$$

Korvaa y arvolla 3 yhtälössä x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Kerro \frac{1}{4} ja 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Lisää \frac{5}{4} lukuun \frac{3}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=2$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=2,y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=2,y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Jos haluat saada luvut 4x ja -4x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla -4 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Sievennä.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Vähennä -16x+20y=28 lausekkeesta -16x+4y=-20 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Lisää -16x lukuun 16x. Termit -16x ja 16x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$4y-20y=-20-28$$

Lisää 4y lukuun -20y.

$$-16y=-20-28$$

Lisää -20 lukuun -28.

$$-16y=-48$$

Jaa molemmat puolet luvulla -16.

$$y=3$$

Korvaa y arvolla 3 yhtälössä -4x+5y=7. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$-4x+5\times 3=7$$

Kerro 5 ja 3.

$$-4x+15=7$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-4x=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$x=2$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=2,y=3$$