Ratkaise 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$4x-5y=2$$

Lisää 5y yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x=5y+2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Kerro \frac{1}{4} ja 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} toisessa yhtälössä, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Lisää \frac{5y}{4} lukuun 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{45}{4}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=\frac{18}{5}$$

Korvaa y arvolla \frac{18}{5} yhtälössä x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Kerro \frac{5}{4} ja \frac{18}{5} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{9}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=5$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Jos haluat saada luvut 4x ja x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Sievennä.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Vähennä 4x+40y=164 lausekkeesta 4x-5y=2 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Lisää 4x lukuun -4x. Termit 4x ja -4x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-5y-40y=2-164$$

Lisää -5y lukuun -40y.

$$-45y=2-164$$

Lisää 2 lukuun -164.

$$-45y=-162$$

Jaa molemmat puolet luvulla -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Korvaa y arvolla \frac{18}{5} yhtälössä x+10y=41. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Kerro 10 ja \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Vähennä 36 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=5$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$