Ratkaise 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=-1$$

$$y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$4x-5y=-14$$

Lisää 5y yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x=5y-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Kerro \frac{1}{4} ja 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} toisessa yhtälössä, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Kerro 7 ja \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Lisää \frac{35y}{4} lukuun y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Lisää \frac{49}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{39}{4}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=2$$

Korvaa y arvolla 2 yhtälössä x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Kerro \frac{5}{4} ja 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Lisää -\frac{7}{2} lukuun \frac{5}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=-1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-1,y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=-1,y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Jos haluat saada luvut 4x ja 7x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 7 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Sievennä.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Vähennä 28x+4y=-20 lausekkeesta 28x-35y=-98 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Lisää 28x lukuun -28x. Termit 28x ja -28x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-35y-4y=-98+20$$

Lisää -35y lukuun -4y.

$$-39y=-98+20$$

Lisää -98 lukuun 20.

$$-39y=-78$$

Jaa molemmat puolet luvulla -39.

$$y=2$$

Korvaa y arvolla 2 yhtälössä 7x+y=-5. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$7x+2=-5$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$7x=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$x=-1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-1,y=2$$