Ratkaise 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$4x-3y=2$$

Lisää 3y yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x=3y+2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Kerro \frac{1}{4} ja 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Korvaa x arvolla \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} toisessa yhtälössä, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Lisää \frac{3y}{4} lukuun 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{23}{4}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=-2$$

Korvaa y arvolla -2 yhtälössä x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Kerro \frac{3}{4} ja -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun -\frac{3}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=-1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-1,y=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=-1,y=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Jos haluat saada luvut 4x ja x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Sievennä.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Vähennä 4x+20y=-44 lausekkeesta 4x-3y=2 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Lisää 4x lukuun -4x. Termit 4x ja -4x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-3y-20y=2+44$$

Lisää -3y lukuun -20y.

$$-23y=2+44$$

Lisää 2 lukuun 44.

$$-23y=46$$

Jaa molemmat puolet luvulla -23.

$$y=-2$$

Korvaa y arvolla -2 yhtälössä x+5y=-11. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Kerro 5 ja -2.

$$x-10=-11$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=-1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-1,y=-2$$