Ratkaise 4x-2x^2=7

$$4 x - 2 x ^ { 2 } = 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1\approx 1-1,58113883i$$

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1\approx 1+1,58113883i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+4x=7$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2x^{2}+4x-7=7-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-2x^{2}+4x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 4 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-2\right)\left(-7\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-2\right)\left(-7\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+8\left(-7\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-56}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 16 lukuun -56.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-40}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun -40 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{10}i}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{10}i}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{10}i}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{10}i}{-4}$$

Jaa -4+2i\sqrt{10} luvulla -4.

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{10}i}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{10} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}i-4}{-4}$$

Jaa -4-2i\sqrt{10} luvulla -4.

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1 x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+4x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+4x}{-2}=\frac{7}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{4}{-2}x=\frac{7}{-2}$$

Jaa 4 luvulla -2.

$$x^{2}-2x=\frac{7}{-2}$$

Jaa 7 luvulla -2.

$$x^{2}-2x=-\frac{7}{2}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{7}{2}+1$$

Lisää -\frac{7}{2} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{5}{2}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{10}i}{2} x-1=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$