Ratkaise 4x(x-4)+7geq0

$$4 x ( x - 4 ) + 7 \geq 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in (-\infty,\frac{1}{2}]\cup [\frac{7}{2},\infty)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 4x ja x-4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x^{2}-16x+7\geq 0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$4x^{2}-16x+7=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 4 tilalle a, muuttujan -16 tilalle b ja muuttujan 7 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{16±12}{8}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{16±12}{8} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\geq 0$$

Jotta tulo on ≥0, arvojen x-\frac{7}{2} ja x-\frac{1}{2} on molempien oltava ≤0 tai ≥0. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{7}{2} ja x-\frac{1}{2} ovat molemmat ≤0.

$$x-\frac{7}{2}\leq 0 x-\frac{1}{2}\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\leq \frac{1}{2}.

$$x\leq \frac{1}{2}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{7}{2} ja x-\frac{1}{2} ovat molemmat ≥0.

$$x-\frac{1}{2}\geq 0 x-\frac{7}{2}\geq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\geq \frac{7}{2}.

$$x\geq \frac{7}{2}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\leq \frac{1}{2}\text{; }x\geq \frac{7}{2}$$