Ratkaise 4x(x+2)=4x-2

$$4 x ( x + 2 ) = 4 x - 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 4x ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x^{2}+8x=4x-2$$

Vähennä 4x molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+8x-4x=-2$$

Selvitä 4x yhdistämällä 8x ja -4x.

$$4x^{2}+4x=-2$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$4x^{2}+4x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 4 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 2}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-32}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun -32.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2\times 4}$$

Ota luvun -16 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±4i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-4±4i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 4i.

$$x=\frac{-4+4i}{8}$$

Jaa -4+4i luvulla 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i luvusta -4.

$$x=\frac{-4-4i}{8}$$

Jaa -4-4i luvulla 8.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 4x ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x^{2}+8x=4x-2$$

Vähennä 4x molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+8x-4x=-2$$

Selvitä 4x yhdistämällä 8x ja -4x.

$$4x^{2}+4x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{2}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{2}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$