Ratkaise 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-5. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -1.

$$a=-5 b=4$$

Kirjoita \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-x-5.

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Ota x tekijäksi lausekkeessa 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Jaa yleinen termi 4x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 4x-5=0 ja x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -1 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Lisää 1 lukuun 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Ota luvun 81 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±9}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Supista murtoluku \frac{10}{8} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±9}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 9 luvusta 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Jaa -8 luvulla 8.

$$x=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Jaa -\frac{1}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{8}. Lisää sitten -\frac{1}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Lisää \frac{5}{4} lukuun \frac{1}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Lisää \frac{1}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$