Ratkaise 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-9. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -9.

$$a=-12 b=3$$

Kirjoita \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-9x-9.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

Jaa 4x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Jaa yleinen termi x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-3=0 ja 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -9 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Lisää 81 lukuun 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Ota luvun 225 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±15}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Jaa 24 luvulla 8.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±15}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 15 luvusta 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{8} luvulla 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Jaa -\frac{9}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{8}. Lisää sitten -\frac{9}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Lisää \frac{9}{4} lukuun \frac{81}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Lisää \frac{9}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$