Ratkaise 4x^2-75x+50=0

$$4 x ^ { 2 } - 75 x + 50 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5 \sqrt{193} + 75}{8} \approx 18,057777493$$

$$x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}\approx 0,692222507$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-75x+50=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -75 ja c luvulla 50 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{\left(-75\right)^{2}-4\times 4\times 50}}{2\times 4}$$

Korota -75 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-4\times 4\times 50}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-16\times 50}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 50.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-800}}{2\times 4}$$

Lisää 5625 lukuun -800.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{4825}}{2\times 4}$$

Ota luvun 4825 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±5\sqrt{193}}{2\times 4}$$

Luvun -75 vastaluku on 75.

$$x=\frac{75±5\sqrt{193}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 75 lukuun 5\sqrt{193}.

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5\sqrt{193} luvusta 75.

$$x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8} x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-75x+50=0$$

Vähennä 50 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-75x+50-50=-50$$

Kun luku 50 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-75x=-50$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-75x}{4}=-\frac{50}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x=-\frac{50}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-50}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x=-\frac{25}{2}$$

Jaa -\frac{75}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{75}{8}. Lisää sitten -\frac{75}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\left(-\frac{75}{8}\right)^{2}=-\frac{25}{2}+\left(-\frac{75}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{75}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64}=-\frac{25}{2}+\frac{5625}{64}$$

Lisää -\frac{25}{2} lukuun \frac{5625}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64}=\frac{4825}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{75}{8}\right)^{2}=\frac{4825}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{75}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4825}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{75}{8}=\frac{5\sqrt{193}}{8} x-\frac{75}{8}=-\frac{5\sqrt{193}}{8}$$

Lisää \frac{75}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8} x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$