Ratkaise 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1,882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0,132782219$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -7 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Lisää 49 lukuun 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{65} luvusta 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Jaa -\frac{7}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{8}. Lisää sitten -\frac{7}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{49}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Lisää \frac{7}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$