Ratkaise 4x^2-6x+13=1

$$4 x ^ { 2 } - 6 x + 13 = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{39}i}{4}\approx 0,75+1,5612495i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i+3}{4}\approx 0,75-1,5612495i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-6x+13=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-6x+13-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-6x+13-1=0$$

Vähennä 1 luvusta 13.

$$4x^{2}-6x+12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -6 ja c luvulla 12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 4\times 12}}{2\times 4}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 4\times 12}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-16\times 12}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 12.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-192}}{2\times 4}$$

Lisää 36 lukuun -192.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-156}}{2\times 4}$$

Ota luvun -156 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{39}i}{2\times 4}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{39}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{6±2\sqrt{39}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{39}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2i\sqrt{39}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{39}i}{8}$$

Jaa 6+2i\sqrt{39} luvulla 8.

$$x=\frac{3+\sqrt{39}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{39}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{39} luvusta 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i+6}{8}$$

Jaa 6-2i\sqrt{39} luvulla 8.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i+3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3+\sqrt{39}i}{4} x=\frac{-\sqrt{39}i+3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-6x+13=1$$

Vähennä 13 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-6x+13-13=1-13$$

Kun luku 13 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-6x=1-13$$

Vähennä 13 luvusta 1.

$$4x^{2}-6x=-12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-6x}{4}=-\frac{12}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{4}\right)x=-\frac{12}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{12}{4}$$

Jaa -12 luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-3$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-3+\frac{9}{16}$$

Lisää -3 lukuun \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{39}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{39}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{39}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{39}i}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3+\sqrt{39}i}{4} x=\frac{-\sqrt{39}i+3}{4}$$