Ratkaise 4x^2-6=4x

$$4 x ^ { 2 } - 6 = 4 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{7} + 1}{2} \approx 1,822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0,822875656$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 4x molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-6-4x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-4x-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -4 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -6.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+96}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun 96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{112}}{2\times 4}$$

Ota luvun 112 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{7}}{2\times 4}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±4\sqrt{7}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+4}{8}$$

Jaa 4+4\sqrt{7} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±4\sqrt{7}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{7} luvusta 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{7}}{8}$$

Jaa 4-4\sqrt{7} luvulla 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 4x molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-6-4x=0$$

Lisää 6 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$4x^{2}-4x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{6}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{6}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x^{2}-x=\frac{6}{4}$$

Supista murtoluku \frac{6}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-x=\frac{3}{2}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{3}{2} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$