Ratkaise 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx+1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -5.

$$a=-4 b=-1$$

Kirjoita \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-5x+1.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Jaa 4x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -5 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Lisää 25 lukuun -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±3}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Jaa 8 luvulla 8.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±3}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Supista murtoluku \frac{2}{8} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Jaa -\frac{5}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{8}. Lisää sitten -\frac{5}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Lisää -\frac{1}{4} lukuun \frac{25}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Lisää \frac{5}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$