Ratkaise 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx+1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -4.

$$a=-2 b=-2$$

Kirjoita \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-4x+1.

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Kirjoita uudelleen binomin neliönä.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Löydät yhtälön ratkaisun ratkaisemalla yhtälön 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -4 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{4}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Lisää -\frac{1}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu. Ratkaisut ovat samat.

$$x=\frac{1}{2}$$