Ratkaise 4x^2-3geq-11x

$$4 x ^ { 2 } - 3 \geq - 11 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in (-\infty,-3]\cup [\frac{1}{4},\infty)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää 11x molemmille puolille.

$$4x^{2}-3+11x\geq 0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$4x^{2}-3+11x=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 4 tilalle a, muuttujan 11 tilalle b ja muuttujan -3 tilalle c.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-11±13}{8}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-11±13}{8} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{1}{4} x=-3$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$4\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x+3\right)\geq 0$$

Jotta tulo on ≥0, arvojen x-\frac{1}{4} ja x+3 on molempien oltava ≤0 tai ≥0. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{1}{4} ja x+3 ovat molemmat ≤0.

$$x-\frac{1}{4}\leq 0 x+3\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\leq -3.

$$x\leq -3$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{1}{4} ja x+3 ovat molemmat ≥0.

$$x+3\geq 0 x-\frac{1}{4}\geq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\geq \frac{1}{4}.

$$x\geq \frac{1}{4}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\leq -3\text{; }x\geq \frac{1}{4}$$