Ratkaise 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -18 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Korota -18 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Lisää 324 lukuun -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Ota luvun 244 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Luvun -18 vastaluku on 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 18 lukuun 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Jaa 18+2\sqrt{61} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{61} luvusta 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Jaa 18-2\sqrt{61} luvulla 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Jaa -\frac{9}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{4}. Lisää sitten -\frac{9}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Lisää -\frac{5}{4} lukuun \frac{81}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Lisää \frac{9}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$