Ratkaise 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-14x=9$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -14 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Lisää 196 lukuun 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Ota luvun 340 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Jaa 14+2\sqrt{85} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{85} luvusta 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Jaa 14-2\sqrt{85} luvulla 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-14}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Jaa -\frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{4}. Lisää sitten -\frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Lisää \frac{9}{4} lukuun \frac{49}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Lisää \frac{7}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$