Ratkaise 4x^2-14x+13=0

$$4 x ^ { 2 } - 14 x + 13 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}\approx 1,75+0,433012702i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}\approx 1,75-0,433012702i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -14 ja c luvulla 13 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 13}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 13.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-208}}{2\times 4}$$

Lisää 196 lukuun -208.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-12}}{2\times 4}$$

Ota luvun -12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{3}i}{8}$$

Jaa 14+2i\sqrt{3} luvulla 8.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{3} luvusta 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+14}{8}$$

Jaa 14-2i\sqrt{3} luvulla 8.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Vähennä 13 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-14x+13-13=-13$$

Kun luku 13 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-14x=-13$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=-\frac{13}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=-\frac{13}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-14}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{13}{4}$$

Jaa -\frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{4}. Lisää sitten -\frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{13}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{13}{4}+\frac{49}{16}$$

Lisää -\frac{13}{4} lukuun \frac{49}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

Lisää \frac{7}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$