Ratkaise 4x^2-13x+6=0

$$4 x ^ { 2 } - 13 x + 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{73} + 13}{8} \approx 2,693000468$$

$$x=\frac{13-\sqrt{73}}{8}\approx 0,556999532$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-13x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -13 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 4\times 6}}{2\times 4}$$

Korota -13 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 4\times 6}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-16\times 6}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-96}}{2\times 4}$$

Lisää 169 lukuun -96.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{73}}{2\times 4}$$

Luvun -13 vastaluku on 13.

$$x=\frac{13±\sqrt{73}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{13±\sqrt{73}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{13±\sqrt{73}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 13 lukuun \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+13}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{13±\sqrt{73}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{73} luvusta 13.

$$x=\frac{13-\sqrt{73}}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{73}+13}{8} x=\frac{13-\sqrt{73}}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-13x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-13x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-13x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-13x}{4}=-\frac{6}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{13}{4}x=-\frac{6}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{13}{4}x=-\frac{3}{2}$$

Jaa -\frac{13}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{8}. Lisää sitten -\frac{13}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{13}{4}x+\left(-\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{13}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{3}{2}+\frac{169}{64}$$

Lisää -\frac{3}{2} lukuun \frac{169}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=\frac{73}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{13}{4}x+\frac{169}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{8}\right)^{2}=\frac{73}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{13}{8}=\frac{\sqrt{73}}{8} x-\frac{13}{8}=-\frac{\sqrt{73}}{8}$$

Lisää \frac{13}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{73}+13}{8} x=\frac{13-\sqrt{73}}{8}$$