Ratkaise 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-27. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -12.

$$a=-18 b=6$$

Kirjoita \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-12x-27.

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-9 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-9=0 ja 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -12 ja c luvulla -27 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Lisää 144 lukuun 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Ota luvun 576 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±24}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Supista murtoluku \frac{36}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±24}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 24 luvusta 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Lisää 27 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Kun luku -27 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Vähennä -27 luvusta 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Jaa -12 luvulla 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Lisää \frac{27}{4} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$