Ratkaise 4x^2-12x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{10} + 3}{2} \approx 3,08113883$$

$$x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}\approx -0,08113883$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-12x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -12 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+16}}{2\times 4}$$

Lisää 144 lukuun 16.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{160}}{2\times 4}$$

Ota luvun 160 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{10}}{2\times 4}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{10}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}+12}{8}$$

Jaa 12+4\sqrt{10} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{10}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{10} luvusta 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{10}}{8}$$

Jaa 12-4\sqrt{10} luvulla 8.

$$x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-12x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$4x^{2}-12x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{1}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Jaa -12 luvulla 4.

$$x^{2}-3x=\frac{1}{4}$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1+9}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{10}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$$