Ratkaise 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Vähennä 16 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Kun luku 16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Vähennä 16 luvusta 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -11 ja c luvulla 14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Lisää 121 lukuun -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Ota luvun -103 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{103} luvusta 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Vähennä 30 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Kun luku 30 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Vähennä 30 luvusta 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-14}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Jaa -\frac{11}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{8}. Lisää sitten -\frac{11}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Lisää -\frac{7}{2} lukuun \frac{121}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Lisää \frac{11}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$