Ratkaise 4x^2=-9x-4

$$4 x ^ { 2 } = - 9 x - 4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{17}-9}{8}\approx -0,609611797$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}-9}{8}\approx -1,640388203$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää 9x molemmille puolille.

$$4x^{2}+9x=-4$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$4x^{2}+9x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 9 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 4\times 4}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-16\times 4}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-64}}{2\times 4}$$

Lisää 81 lukuun -64.

$$x=\frac{-9±\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{17}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{17}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}-9}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{17}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{17} luvusta -9.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-9}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{17}-9}{8} x=\frac{-\sqrt{17}-9}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää 9x molemmille puolille.

$$4x^{2}+9x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+9x}{4}=-\frac{4}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x=-\frac{4}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x=-1$$

Jaa \frac{9}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{8}. Lisää sitten \frac{9}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x+\left(\frac{9}{8}\right)^{2}=-1+\left(\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=-1+\frac{81}{64}$$

Lisää -1 lukuun \frac{81}{64}.

$$x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{17}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{81}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{17}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{17}}{8} x+\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{17}}{8}$$

Vähennä \frac{9}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{17}-9}{8} x=\frac{-\sqrt{17}-9}{8}$$