Ratkaise 4x^2+x-2=0

$$4 x ^ { 2 } + x - 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{8}\approx 0,593070331$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{8}\approx -0,843070331$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 1 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+32}}{2\times 4}$$

Lisää 1 lukuun 32.

$$x=\frac{-1±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{33}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{33}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{33}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{33} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{8} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+x-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}+x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+x=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$4x^{2}+x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=\frac{2}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{2}{4}$$

Supista murtoluku \frac{2}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{2}$$

Jaa \frac{1}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{8}. Lisää sitten \frac{1}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{2}+\frac{1}{64}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{1}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{33}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Vähennä \frac{1}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{8} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{8}$$