Ratkaise 4x^2+8x-45<0

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 4 tilalle a, muuttujan 8 tilalle b ja muuttujan -45 tilalle c.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-8±28}{8} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-\frac{5}{2} ja x+\frac{9}{2} on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{5}{2} on positiivinen ja x+\frac{9}{2} on negatiivinen.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x+\frac{9}{2} on positiivinen ja x-\frac{5}{2} on negatiivinen.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$