Ratkaise 4x^2+8x+2=0

$$4 x ^ { 2 } + 8 x + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1\approx -0,292893219$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1\approx -1,707106781$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+8x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 8 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\times 2}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-32}}{2\times 4}$$

Lisää 64 lukuun -32.

$$x=\frac{-8±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Ota luvun 32 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{2}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±4\sqrt{2}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-8}{8}$$

Jaa -8+4\sqrt{2} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±4\sqrt{2}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{2} luvusta -8.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-8}{8}$$

Jaa -8-4\sqrt{2} luvulla 8.

$$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+8x+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+8x+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+8x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=-\frac{2}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=-\frac{2}{4}$$

Jaa 8 luvulla 4.

$$x^{2}+2x=-\frac{2}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+2x=-\frac{1}{2}$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-\frac{1}{2}+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{1}{2}+1$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{1}{2}$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Sievennä.

$$x+1=\frac{\sqrt{2}}{2} x+1=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1$$