Ratkaise 4x^2+8=-5x

$$4 x ^ { 2 } + 8 = - 5 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{103}i}{8}\approx -0,625+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i-5}{8}\approx -0,625-1,268611446i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää 5x molemmille puolille.

$$4x^{2}+8+5x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+5x+8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 5 ja c luvulla 8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-16\times 8}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 8.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-128}}{2\times 4}$$

Lisää 25 lukuun -128.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Ota luvun -103 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{103}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{103}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun i\sqrt{103}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{103}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{103}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{103} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i-5}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-5+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i-5}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää 5x molemmille puolille.

$$4x^{2}+8+5x=0$$

Vähennä 8 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$4x^{2}+5x=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+5x}{4}=-\frac{8}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=-\frac{8}{4}$$

Jaa -8 luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=-2$$

Jaa \frac{5}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{8}. Lisää sitten \frac{5}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=-2+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-2+\frac{25}{64}$$

Lisää -2 lukuun \frac{25}{64}.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{103}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Vähennä \frac{5}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-5+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i-5}{8}$$