Ratkaise 4x^2+7x-17=3x^2+12x-3

$$4 x ^ { 2 } + 7 x - 17 = 3 x ^ { 2 } + 12 x - 3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x=7$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -3x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Vähennä 12x molemmilta puolilta.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Selvitä -5x yhdistämällä 7x ja -12x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Lisää 3 molemmille puolille.

$$x^{2}-5x-17+3=0$$

Selvitä -14 laskemalla yhteen -17 ja 3.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}-5x-14 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-5 ab=-14$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -14.

$$1,-14 2,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -5.

$$a=-7 b=2$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-7=0 ja x+2=0.

$$x=7 x=-2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -3x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Vähennä 12x molemmilta puolilta.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Selvitä -5x yhdistämällä 7x ja -12x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Lisää 3 molemmille puolille.

$$x^{2}-5x-17+3=0$$

Selvitä -14 laskemalla yhteen -17 ja 3.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-14. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-5 ab=1\left(-14\right)=-14$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -14.

$$1,-14 2,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -5.

$$a=-7 b=2$$

Kirjoita \left(x^{2}-7x\right)+\left(2x-14\right) uudelleen muodossa x^{2}-5x-14.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(2x-14\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 2 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-7 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-7=0 ja x+2=0.

$$x=7 x=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -3x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Vähennä 12x molemmilta puolilta.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Selvitä -5x yhdistämällä 7x ja -12x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Lisää 3 molemmille puolille.

$$x^{2}-5x-17+3=0$$

Selvitä -14 laskemalla yhteen -17 ja 3.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -5 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-14\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -14.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+56}}{2}$$

Lisää 25 lukuun 56.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Ota luvun 81 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±9}{2}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±9}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 9.

$$x=\frac{14}{2}$$

Jaa 14 luvulla 2.

$$x=7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±9}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 9 luvusta 5.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Jaa -4 luvulla 2.

$$x=-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=7 x=-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -3x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Vähennä 12x molemmilta puolilta.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Selvitä -5x yhdistämällä 7x ja -12x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Lisää 17 molemmille puolille.

$$x^{2}-5x=-3+17$$

Selvitä 14 laskemalla yhteen -3 ja 17.

$$x^{2}-5x=14$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=14+\frac{25}{4}$$

Lisää 14 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{81}{4}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{9}{2}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=7 x=-2$$