Ratkaise 4x^2+7x+33=0

$$4 x ^ { 2 } + 7 x + 33 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8}\approx -0,875+2,735758579i$$

$$x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}\approx -0,875-2,735758579i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+7x+33=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 7 ja c luvulla 33 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\times 33}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 33.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-528}}{2\times 4}$$

Lisää 49 lukuun -528.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-479}}{2\times 4}$$

Ota luvun -479 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun i\sqrt{479}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{479} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8} x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+7x+33=0$$

Vähennä 33 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+7x+33-33=-33$$

Kun luku 33 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+7x=-33$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=-\frac{33}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=-\frac{33}{4}$$

Jaa \frac{7}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{8}. Lisää sitten \frac{7}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{33}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{33}{4}+\frac{49}{64}$$

Lisää -\frac{33}{4} lukuun \frac{49}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{479}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{479}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{479}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{479}i}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{479}i}{8}$$

Vähennä \frac{7}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8} x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$