Ratkaise 4x^2+6x+10=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0,75+1,391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0,75-1,391941091i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 6 ja c luvulla 10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

Lisää 36 lukuun -160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

Ota luvun -124 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

Jaa -6+2i\sqrt{31} luvulla 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{31} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

Jaa -6-2i\sqrt{31} luvulla 8.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+6x=-10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Supista murtoluku \frac{6}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Jaa \frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{4}. Lisää sitten \frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää -\frac{5}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Vähennä \frac{3}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$