Ratkaise 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-81. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 48.

$$a=-6 b=54$$

Kirjoita \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right) uudelleen muodossa 4x^{2}+48x-81.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Ota 2x tekijäksi ensimmäisessä ja 27 toisessa ryhmässä.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2x-3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 2x-3=0 ja 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 48 ja c luvulla -81 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Korota 48 neliöön.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Lisää 2304 lukuun 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Ota luvun 3600 neliöjuuri.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-48±60}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -48 lukuun 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Supista murtoluku \frac{12}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-48±60}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 60 luvusta -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-108}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Lisää 81 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Kun luku -81 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Vähennä -81 luvusta 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Jaa 48 luvulla 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Jaa 12 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 6. Lisää sitten 6:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Lisää \frac{81}{4} lukuun 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Jaa x^{2}+12x+36 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Sievennä.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$