Ratkaise 4x^2+4x=5

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx 0,724744871$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}\approx -1,724744871$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+4x=5$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x-5=5-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+4x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 4 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun 80.

$$x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 4}$$

Ota luvun 96 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-4}{8}$$

Jaa -4+4\sqrt{6} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{6} luvusta -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{8}$$

Jaa -4-4\sqrt{6} luvulla 8.

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{5}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{5}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x^{2}+x=\frac{5}{4}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5+1}{4}$$

Lisää \frac{5}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$