Ratkaise 4x^2+4x=15

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 15$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 15 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 4.

$$a=-6 b=10$$

Kirjoita \left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right) uudelleen muodossa 4x^{2}+4x-15.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$2x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-3=0 ja 2x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+4x=15$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x-15=15-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 4 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Ota luvun 256 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-4±16}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±16}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 16.

$$x=\frac{12}{8}$$

Supista murtoluku \frac{12}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±16}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16 luvusta -4.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-20}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{15}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x^{2}+x=\frac{15}{4}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Lisää \frac{15}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=4$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=2 x+\frac{1}{2}=-2$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$