Ratkaise 4x^2+4x=1

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+4x=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 4 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Ota luvun 32 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Jaa -4+4\sqrt{2} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{2} luvusta -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Jaa -4-4\sqrt{2} luvulla 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$