Ratkaise 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 4 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Ota luvun -128 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Jaa -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} luvulla 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i\sqrt{2} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Jaa -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} luvulla 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Lisää -\frac{9}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$